Предисловие 4
Часть I. Статически определимые системы 6
Глава 1. Введение 6
§ 1. Строительная механика как наука. Краткий исторический обзор 6
§ 2. Новые задачи строительной механики в связи с развитием строительной индустрии. Расчетная схема 8
§ 3. Опорные устройства. Виды нагрузок 10
§ 4. Классификация сооружений и их расчетных схем. Основные положения 12
Глава 2. Анализ неизменяемости плоских сооружений 14
§ 5. Простейшие признаки неизменяемости шарнирно стержневых систем 14
§ 6. Анализ геометрической структуры сооружений расчленением на диски 19
§ 7. Системы в виде сочленения трех дисков 25
§ 8. Кинематические и статические признаки простейших мгновенно изменяемых ферм 27
§ 9. Аналитические методы исследования неизменяемости ферм 28
Глава 3. Теория линий влияния и ее применение к статически определимым балкам 31
§ 10. Понятие о линии влияния 31
§ 11. Линии влияния усилий в простых балках 32
§ 12. Определение усилий по линиям влияния 39
§ 13. Линии влияния при узловом действии нагрузки 41
§ 14. Линии влияния усилий для многопролетных статически определимых балок 43
§ 15. Кинематический метод построения линий влияния 46
§ 16. Невыгодное загружение линий влияния 48
§ 17. Определение усилий по эквивалентной нагрузке 52
§ 18. Матричная форма использования линий влияния. Матрица влияния 53
Глава 4. Балочные и консольно-балочные плоские фермы 55
§ 19. Понятие о ферме. Статическая определимость ферм 55
§ 20. Классификация ферм 57
§ 21. Способы определения усилий в фермах 60
§ 22. Расчет трехдисковых ферм на неподвижную нагрузку 66
§ 23. Расчет ферм с составными элементами 69
§ 24. Линии влияния усилий в простых балочных фермах 73
§ 25. Линии влияния усилий в фермах со шпренгелями 81
Глава 5. Расчет сплошной трехшарнирной арки 85
§ 26. Трехшарнирная арка со сплошной стенкой. Аналитическое определение реакций 85
§ 27. Определение усилий в сечении трехшарнирной арки. Эпюры моментов 88
§ 28. Линии влияния реакций и усилий в арке 92
§ 29. Определение напряжений в арке при помощи ядровых моментов 99
§ 30. Арка с затяжкой 102
Глава 6. Арочные фермы и комбинированные системы 103
§ 31. Расчет трехшарнирных арочных ферм 103
§ 32. Комбинированные системы. Арка с ломаной затяжкой 106
§ 33. Балка с гибкой аркой. Цепь с балкой жесткости 110
§ 34. Понятие о вантовых фермах и их расчет 115
Глава 7. Теория определения перемещений 116
§ 35. Перемещения. Работа внешних сил 116
§ 36. Теорема о равенстве возможных работ внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия 121
§ 37. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений 127
§ 38. Общая формула для определения перемещений 130
§ 39. Упрощение техники вычисления перемещений в балках и рамах 134
§ 40. Перемещения, вызванные изменением температуры 141
§ 41. Определение перемещений от осадки опор 144
§ 42. Теорема Кастильяно и принцип наименьшей работы 147
§ 43. Определение перемещений при помощи упругих грузов. Матричная форма 148
Глава 8. Пространственные фермы 155
§ 44. Понятие о пространственных фермах 155
§ 45. Виды опор и неизменяемость пространственных ферм 157
§ 46. Расчет пространственных ферм 164
Часть II. Статически неопределимые системы 169
Глава 9. Основы теории расчета статически неопределимых систем методом сил 169
§ 47. Статическая неопределимость 169
§ 48. Основные свойства статически неопределимых систем. Методы расчета 173
§ 49. Основная система при расчете рам методом сил. Канонические уравнения 174
§ 50. Построение эпюр поперечных и продольных сил в рамах 183
§ 51. Расчет простейших статически неопределимых систем на действие температуры и осадки опор 187
§ 52. Решение системы канонических уравнений способом Гаусса 192
§ 53. Решение системы линейных уравнений способом итерации 199
Глава 10. Статически неопределимые арки 200
§ 54. Законы изменения сечений арок 200
§ 55. Расчет двухшарнирной арки на неподвижную нагрузку 202
§ 56. Линии влияния распора и усилий в двухшарнирной арке. Эпюры усилий 206
§ 57. Построение линии влияния распора двухшарнирной арки методом упругих грузов 209
§ 58. Арка с затяжкой 211
§ 59. Расчет бесшарнирной арки на неподвижную нагрузку 213
§ 60. Линии влияния лишних неизвестных для бесшарнирной арки 218
§ 61. Линии влияния усилий в сечении бесшарнирной арки 224
§ 62. Расчет бесшарнирной арки на действие температуры и смещения опор 225
§ 63. Поперечная, продольная силы и изгибающий момент для круговой арки при радиальном давлении 227
§ 64. Определение перемещений круговой арки 229
Глава 11. Расчет сложных рам методом сил 236
§ 65. Упрощение расчета симметричных рам 236
§ 66. Замена произвольной несимметричной нагрузки прямосимметричной и обратносимметричной нагрузками 246
Глава 12. Расчет неразрезных балок 249
§ 67. Расчет неразрезных балок методом сил 249
§ 68. Расчет неразрезных балок методом моментных фокусов 254
§ 69. Линии влияния опорных моментов и усилий в сечении неразрезной балки 258
§ 70. Невыгоднейшие загружения и построение объемлющей эпюры моментов при действии распределенной нагрузки 265
Глава 13. Расчет статически неопределимых плоских ферм 268
§ 71. Общий ход расчета фермы при постоянной нагрузке 268
§ 72. Линии влияния лишних неизвестных и усилий в стержнях ферм 271
§ 73. Матричная форма расчета ферм 275
Глава 14. Расчет рам методом перемещений 277
§ 74. Кинематическая неопределимость рам 277
§ 75. Соотношения между концевыми моментами и угловыми деформациями 281
§ 76. Расчет рам по развернутой форме метода перемещений 290
§ 77. Уравнения метода перемещений в развернутой форме 294
§ 78. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений 299
§ 79. Расчет рам методом перемещений на действие температуры и осадку опор 302
§ 80. Построение линий влияния концевых моментов с применением метода перемещений 306
Глава 15. Специальные методы расчета рам 308
§ 81. Комбинированный метод 308
§ 82. Приближенные методы 309
Глава 16. Расчет сооружений по несущей способности 313
§ 83. Расчет по предельным состояниям 313
§ 84. Расчет простейшей статически неопределимой стержневой системы по предельному состоянию 317
§ 85. Методы расчета статически неопределимых стержневых систем по предельному состоянию 321
§ 86. Расчет статически определимых балок с учетом пластических деформаций 324
§ 87 Расчет статически неопределимых балок и рам с учетом развития пластических деформаций 328
Глава 17. Применение современных вычислительных машин 333
§ 88. Электронные цифровые вычислительные машины 333
§ 89. Расчет статически неопределимых систем с применением электромоделирующих устройств 340
Часть III. Устойчивость и основы динамики сооружений 344
Глава 18. Устойчивость стержневых систем 344
§ 90. Задачи и методы исследования устойчивости 344
§ 91. Общее уравнение упругой линии сжато-изогнутого стержня 349
§ 92. Определение критических сил методом начальных параметров 356
§ 93. Устойчивость стоек ступенчатого сечения и стержней с любыми граничными условиями 358
§ 94. Устойчивость стержня в упруго сопротивляющейся среде 361
§ 95. Устойчивость составных стержней 366
§ 96. Устойчивость многопролетного стержня на жестких опорах 367
§ 97. Расчет стержней на устойчивость при учете пластических деформаций 370
§ 98. Выражения концевых моментов стержня через угловые деформации 375
§ 99. Уравнения метода перемещений для сжато-изогнутых рам 377
§ 100. Определение критических нагрузок однопролетных симметричных многоэтажных рам 382
§ 101. Устойчивость плоской формы изгиба полосы 386
Глава 19. Основы динамики сооружений 389
§ 102. Виды колебаний 389
§ 103. Собственные колебания системы с одной степенью свободы 390
§ 104. Собственные колебания системы со многими степенями свободы 394
§ 105. Колебания рам. Приведенная масса 398
§ 106. Вынужденные периодические колебания системы с одной степенью свободы. Резонанс 401
§ 107. Вынужденные периодические колебания системы со многими степенями свободы 405
§ 108. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии непериодической нагрузки 408
§ 109. Удар груза по сооружению 411
§ 110. Поперечные колебания стержней с распределенной массой 416
§ 111. Продольные колебания стержней с распределенной массой 425
Часть IV. Пластинки и оболочки 429
Глава 20. Теория тонких пластин 429
§ 112. Общие положения 429
§ 113. Напряжения и усилия в пластинке. Уравнения равновесия 431
§ 114. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки 434
§ 115. Краевые условия для пластинок в различных случаях 436
§ 116. Простейшие случаи 439
§ 117. Шарнирно опертая по краям прямоугольная пластинка при действии произвольной распределенной нагрузки 442
§ 118. Расчет шарнирно опертой пластинки на действие равномерно распределенной нагрузки 445
§ 119. Общее решение для круглой пластинки 447
§ 120. Свободно опертая по краям круговая пластинка при действии равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенной силы 450
Глава 21. Расчет оболочек 452
§ 121. Расчет симметричной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку 452
§ 122. Расчет оболочек вращения на произвольную нагрузку 456
§ 123. Расчет сферической оболочки на ветровую нагрузку 460
§ 124. Расчет цилиндрических оболочек по безмоментной теории 463
§ 125. Расчет тонкостенной трубы на изгиб от собственного веса 469
§ 126. Моментная теория цилиндрических оболочек 471
§ 127. Расчет цилиндрических оболочек по моментной теории 475
Приложение 478
Литература 483
Оглавление 484

Линии влияния усилий в заданном сечении сооружения строят двумя методами: статическим и кинематическим.

2.1.1. Статический метод построения линий влияния

Груз F=1 устанавливается в произвольном сечении, положение которого фиксируется переменной X (рис. 10). Из условия равновесия системы записывается аналитическое выражение определяемого усилия J=f(x). Подставляя в него значение координат, фиксирующих положение груза F=1 , вычисляют ординаты лв , расположенные под нагрузкой, и строят график.

Рис. 1.10. Линии влияния усилий

При построении линий влияния усилий М к , Q к для фиксированного сечения “К”, расположенного между опорами , следует рассматривать два положения груза F=1 – слева и справа от сечения “К” , при этом рассматривая равновесие соответственно правой и левой отсечённых частей . В данном случае запись уравнений М к , Q к проще. В том случае, когда сечение расположено на консоли, при движении груза F=1 слева и справа от сечения целесообразно рассматривать равновесие консольной части, считая, что груз движется от сечения.

За пределами сооружения линии влияния нулевые.

Линии влияния усилий R A, R B, M K, Q K, M n, Q nпоказаны на рис.2.1.

Линии влияния R A

Из уравнения статики определяем реакцию R A.

уравнение прямой, для построения которой достаточно двух точек.

При х = 0,

лв R A (0) = 1(L - 0) / L = 1,

при х = L;

лв R A (L) = 1(L - L) / L = 0.

Груз F=1 находится на консоли, х = -d,

лв R A (-d) = 1(L + d) / L.

По полученным значениям строим линию влияния опорной реакции R A .

Линия влияния RB

,

лв R B (x) = x / L.

Линия влияния R b (x) изменяется по линейному закону. Подставляем координаты Х в уравнение лв Rb:

x = 0, ЛВ R B (0) = 0 / L; x = L, ЛВ R B (L) = L / L = 1;

x = –d, лв R B (–d) = –d / L.

Характеристики линии влияния реакции R :

состоит из одной ветви;

над опорой, для которой определяется усилие R, отсекает ординату равную плюс 1;

на противоположной опоре ордината равна нулю.

Линия влияния изгибающего момента М К .

Сечение “К” расположено между опорами: . ГрузF = 1 слева от сечения К, рассматривается равновесие правой части балки.

M K = R B (x) х b или лв M K = лв R B х b - уравнение прямой.

При х = а, лв M K = a х b / L , при x = -d, лв M K = -d х b / L.

Линия влияния, построенная в предположении, что груз F = 1 перемещается слева от сечения К , называется левой ветвью линии влияния. Левая ветвь лв М К представляет лв R B , увеличенную в b раз.

Груз F=1 справа от сечения К, равновесие левой части, .

M K = R A (x) х a = a х (L - x) / L или лв M K = лв R A х a.

При x = a, лв M K = (L - a) х a / L = a х b /L,

при x = L, лв M K = (L - L) х a /L =0 .

Правая ветвь лв М К – это лв R A , увеличенная в а раз.

Характеристики линии влияния М К , сечение “К” расположено между опорами:

состоит из двух ветвей: левая ветвь справедлива от левой опоры до сечения, правая ветвь – от правой опоры до сечения;

ветви отсекают над опорой расстояние от данной опоры до сечения.

Линия влияния поперечной силы Q K

Сечение К расположено между опорами: . Груз F=1 слева от сечения, равновесие правой части.

; лв мQ = -ЛВ R B;

x =a, лв Q K = -a /L; x = -d, лв Q K = d / L.

Груз F=1 справа от сечения К , равновесие левой части .

Q K = R A(x) = 1(L - x) / L; лв Q K = ЛВ R A;

x = a, лв Q K (a) = (L - a) / L = b / L.

Характеристики лв Q K , сечение между опорами:

– состоит из двух параллельных ветвей;

– правая ветвь отсекает над левой опорой ординату равную плюс 1, а левая ветвь под правой опорой отсекает ординату равную минус 1;

– в сечении наблюдается скачок равный 1.

Линия влияния M n

Сечение n расположено на консоли, .

Груз F = 1 слева от сечения n

M n = -Fx 1 ; лв M n = -x 1 ;

x 1 =0 , ЛВ M n = 0 ;

x 1 =-С, ЛВ M n = -С

Груз F = 1 справа от сечения n , равновесие консольной (левой) части балки.

M n = 0 - правая ветвь.

Правая ветвь со стороны опор – нулевая, поскольку рассматривается равновесие той части балки, на которой нагрузка отсутствует. Следовательно, ветвь со стороны опор совпадает с осью линии влияния.

Характеристики ЛВ М n, сечение на консоли :

состоит из двух ветвей;

ветви всегда пересекаются под сечением;

ветвь со стороны опор, заделки всегда нулевая;

ветвь со стороны консоли отсекает на конце консоли ординату, равную расстоянию от сечения до конца консоли.

Линия влияния Q n

Груз F =1 слева от сечения n

Q n(x 1) = - F=- 1 - левая ветвь.

Груз F =1 справа от сечения n , равновесие консольной части.

Q n(x 1) = 0 - правая, нулевая ветвь.

Характеристики ЛВ Q n, сечение на консоли :

состоит из двух параллельных ветвей;

ветвь со стороны опор всегда нулевая;

ветвь на консольной части параллельна оси линии влияния и отсекает в сечении ординату равную минус 1, если консоль расположена слева от опор, и плюс 1 – если консоль справа от опор;

в сечении – скачок равный единице.

2.1.2. Кинематический метод построения линий влияния

Кинематический метод основан на принципе возможных перемещений: если система находится в равновесии, то сумма работ всех сил, действующих на систему, на любых возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю.

Суть кинематического метода построения линий влияния заключается в следующем:

отбрасывается связь, усилие в которой определяется, получается механизм с одной степенью свободы;

вместо отброшенной связи прикладывается искомое усилие;

по направлению искомого усилия системе даётся единичное перемещение и строится эпюра перемещений полученного механизма. Построенная эпюра перемещений даёт вид линии влияния;

для получения ординат линии влияния записывается уравнение работ при определённом положении груза F = 1;

характерные ординаты линии влияния определяются из геометрических построений.

Вид эпюр перемещений в соответствии с рис. 2.2 получают для построения линий влияния:

опорной реакции R – отбрасыванием опорного стержня, действие которого заменяется силой R;

изгибающего момента М – в каком-либо сечении врезанием шарнира в заданное сечение, действие нарушенной связи компенсируется приложением двух равных и противоположно направленных моментов;

поперечной силы Q – в каком-либо сечении введением в заданное сечение ползуна, при этом, стержни системы всегда остаются параллельными. Замена нарушенной связи осуществляется приложением к концам получившихся частей бруса двух равных и противоположно направленных сосредоточенных сил.

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М , Q , N и выполнить проверки.Задано соотношение I 2 =2I 1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I 1 =I , тогда I 2 =2I .

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по :

n =ΣR -Ш -3 =5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима , и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему . За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С .

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой , действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х 1 и Х 2 и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной .

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х 1 =1 и Х 2 =1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М F .

М 1 =0

М 2 = -q ·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М 3 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М 4 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М 5 = -q ·8·4-F ·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение , сокращаем на ЕI .

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х 1 , а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х 2 =7,12кН , тогда Х 1 =-1,14 кН .

1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М ок ).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии .

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М S – суммарная эпюра единичных моментов , для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х 1 =1 и Х 2 =1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру М S .

Выполняем деформационную проверку по ступеням :

1. Построение Эп Q по Эп М ок .

Эп Q строим по формуле :

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу :

,

где М пр – момент правый,

М лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

1. Построение Эп N по Эп Q .

Вырезаем узлы рамы , показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами .

Строим Эп N .

1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики .

Все проверки сошлись. Задача решена.

Уравнение для параболы :

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда х А =0, у А =0

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Формула для параболы :

Для точек А и В :

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0» ).

Распор Н определим из уравнения относительно т. С , используя свойство шарнира .

Таким образом, реакции арки :

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

1. Определение по формуле:

К примеру, для т. А :

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

Тогда арочные поперечные силы:

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n =С оп -Ш -3

где n – степень статической определимости ,

С оп – количество неизвестных опорных реакций ,

Ш — количество шарниров ,

3 – количество уравнений статики .

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: С оп = 2+3=5 . Балка имеет два шарнира, значит, Ш =2

Тогда n =5-2-3=0 . Балка является статически определимой .

1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок .

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

Балки, которые опираются только на свои опоры , называются основными . Балки, которые опираются на другие балки , называются подвесными . Балка СD – основная , остальные – подвесные .

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных . Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком .

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно , строим для нее эпюры Q и М . Начинаем с подвесной балки АВ .

Определяем реакции R А , R В .

Наносим реакции на схему.

Строим Эп Q методом сечений .

Строим Эп М методом характерных точек .

В точке, где Q =0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум . Определим положение т.К , для этого приравниваем уравнение для Q 2 к 0 , а размер z заменим на х .

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР .

Балка ЕР относится к , эпюры для которых известны.

Теперь рассчитываем основную балку СD . В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции R В и R Е , направленные в обратную сторону.

Рассчитываем реакции балки СD .

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений .

Строим эпюру М методом характерных точек .

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка .

Строим эпюру М .

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки , при этом не допускаем переломов на эпюре М . Задача решена.

Статически определимая ферма. Задача . Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели , а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d =2м; h =3м; ℓ =16м; F =5кН .

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В , нанесем опорные реакции R А и R В .

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична , реакции будут равны между собой:

Теперь обозначим элементы фермы:

«О » — стержни верхнего пояса (ВП),

«U » — стержни нижнего пояса (НП),

«V » — стойки ,

«D » — раскосы .

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О 4 — усилие в стержне верхнего пояса; D 2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О 2 , D 1 , U 2 (стержни второй панели), усилие в стойке V 2 , а также усилие в срединной стойке V 4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

1. Метод моментной точки (метод Риттера),
2. Метод проекций,
3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда , когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О 2 , D 1 , U 2 . Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки . Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней , попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О 2 .

Моментной точкой для О 2 будет т.14 , т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D 1 и U 2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О 2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О 2 – сжат .

Определяем усилия в стержне U 2 . Для U 2 моментной точкой будет т.2 , т.к. в ней пересекаются два других стержня — О 2 и D 1 .

Теперь определяем моментную точку для D 1 . Как видно из схемы, такой точки не существует , поскольку усилия О 2 и U 2 не могут пересекаться , т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим .

Воспользуемся методом проекций . Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У . Для проекции на данную ось раскоса D 1 потребуется знать угол α . Определим его.

Определим усилие в правой стойке V 2 . Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2 , оно проходит через стержни О 3 , V 2 , U 2 . Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим , применим метод проекций . Спроектируем все силы на ось У .

Теперь определим усилие в срединной стойке V 4 . Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов . Стойка V 4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11 . Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V 4 направим по оси У ). Усилия, как и прежде, направляем от узла , предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х =0, -U 4 + U 5 =0, U 4 = U 5

∑у =0, V 4 =0.

Таким образом, стержень V 4 - нулевой .

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0 .

Правила определения нулевых стержней — смотреть .

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны .

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения .

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

Определим степень статической неопределимости n= С оп — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней» . Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В . Это реакция R b . Выбираем основную систему (ОС) путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В). Основная система – статически определимая .

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию R b . Но этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0 . Это и будет дополнительное уравнение совместности деформаций .

Обозначим прогиб от заданной нагрузки Δ F , а прогиб от «лишней» реакции Δ Rb .

Тогда составим уравнение Δ F + Δ Rb =0 (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1) .

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки Δ F :

1) Загружаем основную систему заданной нагрузкой .

2) Строим грузовую эпюру .

3) Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу . Строим эпюру единичных сил .

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

5. Линии влияния и их применение для расчета

статически определимых балок

5.1. Нагрузки и внутренние силовые факторы

Сопротивление материалов рассматривает только однопролетные балки при действии на них неподвижных нагрузок . В курсе строительной механики рассматриваются эти же балки, но при действии на них и подвижных нагрузок , а также многопролетные статически определимые балки, фермы и арки при действии на них подвижных и неподвижных нагрузок.

Подвижной нагрузкой называется нагрузка, движущаяся по сооружению с некоторой скоростью. К примеру, такой нагрузкой является транспорт (рис. 5.1, а ), поезд, движущийся по мосту; кран, движущийся по подкрановой балке и др. Его можно рассматривать как систему взаимосвязанных параллельных сил, движущихся по сооружению (рис. 5.1, б ). При этом усилия (а также напряжения и деформации) зависят от положения подвижной нагрузки. Для определения расчетных значений усилий необходимо из всех возможных положений нагрузки выбрать такое, при котором рассчитываемый элемент будет находиться в самых неблагоприятных условиях. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим , или опасным.

Рис. 5.1

5.2. Методырасчета сооружений на подвижную нагрузку

Подвижная нагрузка вызывает в элементах сооружения переменные внутренние усилия. Расчет сооружения на подвижную нагрузку, даже без учета динамических эффектов (например, ускорений и инерционных сил), сложнее расчета на постоянную нагрузку. Потому что приходится решать несколько задач:

1) определять наиболее опасное (расчетное) положение нагрузки;

2) определять наибольшее (расчетное) значение этой нагрузки;

3) рассчитывать сооружение на расчетную нагрузку.

Расчет на подвижную нагрузку можно вести двумя методами.

Общий метод . Сущность метода : подвижная нагрузка рассматривается целиком и обозначается одной координатой; искомое внутреннее усилие выражается как функция этой координаты; эта функция исследуется на экстремум и определяется расчетное положение нагрузки; затем вычисляется расчетное значение внутреннего усилия.

Этот метод универсален, но сложен для реализации.

Метод линий влияния . Сущность метода : искомая величина (внутреннее усилие, реакция и др.) определяется как функция от подвижной единичной силы; строится график этой функции, а затем находятся расчетное положение и расчетное значение этой величины.

Метод линий влияния более прост для реализации, позволяет достаточно просто определять расчетное положение нагрузки и ее величину. Поэтому далее остановимся только на нем.

Линия влияния (ЛВ) – это график изменения одного усилия (опорной реакции, реакции в связи, изгибающего момента, перерезывающего и продольного усилий) в определенном месте (сечении) конструкции от единичной безразмерной силы P =1, которая движется по конструкции без ускорения, сохраняя при этом постоянное направление.

Понятия ЛВ и эпюры нельзя путать, потому что эпюра показывает значение внутреннего усилия для всех точек (сечений) от постоянной нагрузки, а ЛВ показывает значение внутреннего усилия от подвижной единичной силы P =1 только для одного сечения.

Линии влияния, главным обp азом , применяют в балочных cиc­темах (а также в ар­ках, фермах и дру­гих стержневых си­стемах), в котоpых cоcpедоточенная cила может пеpеме­щатьcя вдоль пpо­лета , cохpаняя cвое напpавление . Пp и помощи линий вли­яния легко pаccчи­тать балкy на под­вижнyю нагpyзкy , возникающую, напpимеp , при движении поезда или потока автомашин на моcтовом пpолете .

5.3. Построение линий влияния усилий простой балки

Пример 5.1. Рассмотрим консольную балку, на которую действует подвижная нагрузка P =1 (рис. 5.2, а ).

Рис. 5.2

1) Линии влияния опорных реакций

Сумма моментов в правой опоре:

Σ M B =−R A ∙ l + 1 ∙ (l – x) = 0.

Отсюда

Для построения графика этой функции найдем положение двух точек:

еслиx =0 , то R A =1;

еслиx=l , то R A =0.

Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции R A (рис. 5.2, б ).

Для определения правой опорной реакции составим уравнение

Σ M A =R B ∙ l – 1 ∙ x = 0.

Отсюда

Если x =0, то R B =0;

если x=l , то R B =1.

Через эти точки проводим прямую и строим л.в . реакции R B (рис. 5.2, в ).

2) Линии влияния поперечной силы и момента

Они зависят от положения сечения, в котором определяются.

а) Единичная сила правее сечения К

В этом случаеQ K = R A , M K = R A ∙ a .

Эти функции определяют правые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2, г, д ).

б) Единичная сила левее сечения К

В этом случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию. ТогдаQ K =– R B , M K =R B ∙ b . Эти функции определяютлевые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2, г, д ).

Если сечение располагается на консольных (левой или правой) частях балки (рис. 5.3, а ), ЛВ поперечной силы и момента будут совсем другими. Приведем результат их построения для двух сечений К 1 и К 2 (рис. 5.3, б-д ).

Рис. 5.3

В некоторых расчетных схемах (например, в этажных схемах разрезной балки) встречаются консоли с заделками справа или слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя соответствующие левые и правые части предыдущих линий влияния (рис. 5.3, б-д ), считая, что в точках А и В имеются заделки.

Полученные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий используются как известные решения при расчете аналогичных балок и как промежуточные решения при расчете многопролетных балок.

Пример 5.2. Рассмотрим простую балку на двух опорах (рис. 5.4,а ).

Решение.

Загружаем ее единичной силой Р = 1. Поскольку сила двигается по балке (скажем вертикального направления), то ее местоположение зафиксируем координатой х от опоры А .

Рис.5.4

Решение.

Построим л. в . для опорной реакции R A .

Вычислим величину R A , рассмотрев уравнение статики Σ M B =0.

Σ M B =−R A ∙ l + 1 ∙ (l – x) = 0.

Отсюда

Из выражения R A видим, что величина опорной реакции меняется по линейному закону. Поэтому можно задать два сечения х и по этим величинам R A построить график изменения реакции R A .

При x =0,R A =1.

При x = l (т. е. сила Р = 1 будет находиться на опоре В)R A =0.

Откладывая эти значения R A на одном графике и соединяя их прямой (рис. 5.4,б ), получим л. в. R A в пределах длины балки. Когда сила Р = 1 будет находиться в точке С , величина R A может быть вычислена из подобия треугольников или аналитически из полученной ранее формулы:

Читателю предлагается самостоятельно построить л. в. R b и сравнить сграфиком, показанном на рис.5.4,в .

Разберем построение л. в . для М к . Сечение «К» на расстоянии 4,0 м от опоры А (рис. 5.5,а ).

Поскольку Р = 1 двигается по балке, то она может оказаться как слева от сечения «К», таки справа от него. Необходимо рассмотреть оба положения нагрузки относительно сечения «К».

а) Р = 1 слева от сечения «К» (как показано на рис. 5.5,а ).

Рис.5.5

Изгибающий момент в сечении «К» можно подсчитать как от левых, так и от правых сил. Отправых сил момент подсчитать удобнее – меньше слагаемых (меньше сил):

Из этого выражения следует, что

Следовательно, нужно построить л.в . R b и все ее ординаты увеличить в 2 раза (рис.5.5,б ), но этот график будет справедлив только слева от сечения «К», т. е. там, где находится груз Р = 1. Эта прямая л.в . М К носит название – левая прямая. Рассмотрим второе положение Р = 1.

б) Р = 1 справа от сечения «К».

или

т. е. следует построить л. в. R A , ординаты которой следует увеличить в 4 раза, и этот график будет справедлив только справа от сечения “К” – правая прямая л.в . М К (рис. 5.5,в ).

Для получения полного графика л. в. М К совмещаем на одной оси обе прямые (левую и правую) л. в. М К (рис. 5.5,г ).

По такому же принципу строятся и л. в. для Q K (рис. 5.5,д ) и других усилий.

Пример 5.3. Рассмотрим консольную балку (рис. 5.6). Построим графики изменения (л.в .) опорных реакций и внутренних усилий в сечении «К».

Рис.5.6

Решение.

Линии влияния R A . .

Реакция данной опоры определится из уравнения статики

Σ y =0;R A - 1=0илиR A =1.

Обратим внимание - в уравнение не вошла координата х . Следовательно, реакция опоры А постоянная, где бы ни находилась сила Р = 1 (рис. 5.6,б ).

Линия влияния H A . .

Уравнение Σ x =0 дает, что H A =0.

Линия влияния М A

Из уравнения Σ M A =0 получаем, что M A + 1 ∙ x =0, откуда M A = - x .

Знак минус говорит о том, что направление реактивного момента мы выбрали неверно, а само значение М А зависит от координатых.

При x =0 M A =0.

При x = l M A = l (где l – вылет консоли).

Линия влияния М А приведена на рис. 5.6,в .

Линия влияния Q K (перерезывающая сила в сечении К).

Рассмотрим положение груза Р = 1 слева от сечения (рис.5.6,г ).

Перерезывающую силу Q K удобнее вычислить от правых сил, тогда

Q K =0.

Левая прямая справедлива отзаделки до сечения К (рис. 5.6,е ).

Когда груз Р = 1 окажется справа от сечения К (рис.5.6,д ), перерезывающую силу опять вычислим от правых сил:

Q K =1.

Вновь заметим – величина Q K не зависит от положения нагрузки на этом участке, т. е. Q K – постоянная (рис.5.6,е ) и правая прямая справедлива от сечения К до конца консоли. В сечении К на графике л.в . наблюдается скачок на величину Р = 1.

Линия влияния М К (изгибающий момент в сечении К).

Здесь мы вновь рассмотрим два положения груза Р = 1.

а ) Груз Р = 1 слева от сечения (рис. 5.6,г ).

Изгибающий момент в сечении «К» проще подсчитать от правых сил (их нет), тогда M K =0 . Следовательно, на графике (рис. 5.6,ж ) слева от сечения изображаем нулевую линию (левую прямую).

б) Груз Р = 1 справа от сечения (рис.5.6,д ).

Зафиксируем его от сечения «К» координатой х . Тогда изгибающий момент в сечении «К» вычисляется:

M K = 1∙ x.

Отсюда имеем:

при x =0 M K =0.

при x = b M K = b .

По этим данным строим правую прямую (рис. 5.6,ж ).

5.4. Построение линий влияния усилий в ломаных стержнях (рамах)

Пример 5.4. Рассмотрим простейшую раму (рис.5.7). Будем считать, что Р = 1 двигается по горизонтальному стержню 2-3 и направлена вертикально.

Рис.5.7

Решение.

Поскольку Р = 1 двигается по линии 2-3, то все графики строим по проекции этой линии (рис. 5.7).

Линия влияния Н 1

Запишем выражение для определения Н 1 :

Σ M 3 =0;

откуданаходим

при x =0 H 1 = 1,5;

при x =6 H 1 = 0.

График изменения Н 1 показан на рис.5.7,б .

Линия влияния Н 3

Σ x =0; H 3 + H 1 =0, откуда H 3 =- H 1 .

Знак минус указывает, что направление выбрано нами неудачно. Сменим его на противоположное. Другими словами, величина H 3 = H 1 .

Линия влияния R 3

Σ y =0;R 3 - 1=0; R 3 =1.

Это означает, что величина реакции R 3 не зависит от положения нагрузки (рис. 5.7,в ).

Линия влияния M 21 (момент в сечении 2 участка 2-1)

Величину изгибающего момента запишем как сумму моментов нижних сил, т. е.

или величина момента меняется так же, как л.в . Н 1 , ординаты которой умножаются на 4 (м) (рис. 5.7,г ).

Линия влияния Q 21 (перерезывающая сила в сечении 2 участка 2-1)

Уравнение говорит само за себя (рис. 5.7,д ).

Линия влияния Q 23 (перерезывающая сила в сечении 2 участка 2-3)

Линия влияния N 21 (продольная сила в узле 2 участка 2-1) (рис. 5.7,ж ).

N 21 =0(из проекции на ось стержня 2-1).

Линия влияния N 21 (продольная сила в узле 2 участка 2-3) (рис. 5.7,з ).

(из проекции на ось стержня 2-3).

5.5. Построение линий влияния усилий в двухдисковой конструкции

Пример 5.5. Рассмотрим построение на примере двухдисковой рамы (рис. 5.8).

Рис.5.8

Решение.

Линии влияния опорных реакций

Линия влияния R 1 .

Вычисляем опорную реакцию R 1 :

Σ M 6 =0;

При Р = 1 слева от шарнира 3:

При Р = 1справа от шарнира 3:

Решение системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными при Р = 1 слева от шарнира 3:

дает Придавая координате «х » крайние значения на этом участке, получим величину R 1 :

при x =0 R 1 =1 ,

при x = 4

При Р =1 справа от шарнира 3 получим систему двух уравнений:

решение которой дает:

при x =4 R 1 = 0,567;

при x =7 R 1 = 0;

при x =9 R 1 = -0,377.

График изменения R 1 смотрите на рис.5.8,б .

Линия влияния Н 1

Из полученных ранее уравнений при известном значении R 1 находим величину Н 1 :

ПриР = 1 слева от шарнира 3

при x =0 H 1 = 0;

при x =4

При грузе Р = 1 справа от шарнира 3

при x =4 H 1 = 0,324;

при x =7 H 1 = -0,756+0,756=0;

при x =9 H 1 = -0,972+0,756=-0,216.

По полученным значениям линия влиянии Н 1 построена на рис.5.8,в .

Линия влияния Н 6 .

Из общего уравнения равновесия конструкции:

Σ x =0;

Откуда следует, что , и следовательно, (рис. 5.8,в ).

Линия влияния R 6 .

Воспользуемся уравнением равновесия всей конструкции:

Σ y =0;

Отсюда

Линия влияния R 6 показана на рис.58,г .

Линии влияния внутренних усилий

Наметим сечения в узле 4 на стержне 4 - 6; в узле 4 на участке 4 - 3; в узле 4 на участке 4 – 5 (рис. 5.9,а ).

Сечение 4 на участке 4 – 6.

Линия влияния Q 4-6 .

Величина усилия Q 4-6 вычисляется из условия равновесия нижней части (стержень 4-6):

Обратим внимание, что величина перерезывающей силы (Q 4-6 ) от положения силы Р = 1 не зависит, следовательно, (рис. 5.8,д ).

Линия влияния N 4-6 .

Усилие N 4-6 вычисляется как сумма всех сил на ось стержня, располагающегося ниже сечения 4 участка 4 - 6.

и, поскольку величина N 4-6 не зависит от координаты х , можем утверждать: (рис. 5.8,е ).

Линия влияния М 4-6 .

Изгибающий момент в сечении 4 участка 4 – 6 вычисляется:

и опять - таки не зависит от места расположения Р = 1. Таким образом, меняется так же, как и , но все ординаты л.в . Н 6 увеличиваются на 4 (м), т.е.: (рис.5.8,ж ).

Рис.5.9

Сечение 4 на участке 4 – 3 – 2.

Линия влияния Q 4-3 (рис. 5.9,б ).

Величина перерезывающей силы в сечении 4 участка 4 – 3 – 2 (Q 4-3 ) будет зависеть от положения силы Р = 1.

Сила Р = 1 слева от сечения 4.

Получили так называемую левую прямую.

Сила Р = 1 справа от сечения 4 – 3.

Линия влияния N 4-3 (рис. 5.9,в ).

Независимо от положения нагрузки Р = 1, величина N 4-3 будет равна либо Н 1 , либо Н 6 , т. е.

Линия влияния М 4-3 (рис. 5.9,г ).

Сила Р = 1 слева от сечения: (левая прямая).

Сила Р = 1 справа от сечения.

Здесь возможны два варианта вычисления:

а) , т. е.

б) Силу Р = 1, находящуюся справа от сечения 4 стержня 4 – 3, зафиксируем ординатой х от узла 4 (рис. 4.9,а ). Тогда

Линия влияния уже построена. Остается при х = 2добавить к значению –0,864 величину 2 , т. е.:

при x =2

при x =0

Для усилий сечения 4 участка 4 – 5 линии влияния строятся как для консоли (рис. 5.9,д,е ,ж ). Предлагаем построить их самостоятельно.

H еcколько cложнее поcтpоение линий влияния ycилий в эле­ментах cтатичеcки опpеделимых феpм , аpок , а также cтатичеcки неопpеделимых cиcтем .

Заметим также, что линии влияния yc илий в cтатичеcки опpе­делимых cиcтемах пpи движении гpyза по пpямой изобpажаютcя отpезками пpямых линий, в то вpемя как линии влияния ycилий в cтатичеcки неопpеделимых cиcтемах , как пpавило , кpиволинейные .

5.6. Вычисление усилий по линиям влияния от неподвижной нагрузки

Обратимся к л.в . усилия R A простой балки (рис. 5.10). Отметим, что при нахождении силы Р = 1 на опоре А величина реакции равна 1, а при нахождении силы Р = 1 на расстоянии х от опоры А величина R A будет равна величине R A (х) , взятой из графика (рис. 5.10). Если силу Р = 1 увеличить в « n » раз, то и график (его значения) увеличится в « n » раз.

Рис.5.10Рис.5.11

Тогда при загружении одной сосредоточенной силой, скажем, Р = 5 кН (рис.5.11), величина R A будет равна произведению силы 5 (кН) на ординату Л.В. R A , взятую под силой, т. е.

или, вычисляя аналитически, получим то же значение R A .

Если же балка или другая конструкция нагружена сосредоточенными силами (рис.5.12) и, пользуясь принципом независимости действия сил, вычислим значения усилия от каждой силы и результаты сложим, т. е.

где: Р i – значение сосредоточенной i -ой силы;

y i – ордината Л.В. усилия S , взятая под силой Р i , т. е.:

От p аcпpеделенной нагpyзки q (x ) усилие через линии влияния определяется:

где a и b - кооp динаты начальной и конечной точек дейcтвия pаc­пpеделенной нагpyзки .

Для p авномеpно pаcпpеделенной нагpyзки (рис. 5.13) q = const :

где - площадь, огp аниченная линией влияния, оcью абcциcc и пpямыми x = a и x = b .

Рис. 5.12Рис. 5.13

Так для схемы на рис.5.14 с равномерно распределенной нагрузкой усилие S будет подсчитываться как произведение интенсивности нагрузки на площадь (-Ω ) л.в . усилия (на рис. 5.14 л.в . усилия М к ), т. е. S = Ω ∙ q или для М к :

Рис.5.14

Необходимо установить правило знаков при расчете внутренних усилий по линиям влияния.

Если сосредоточенные силы и распределенная нагрузка направлены сверху вниз, то знак ординат линии влияния и площади определяет знак усилия.

Если положительная ветвь линии влияния отложена ниже оси стержня и сосредоточенный момент приходится на нее, то когда поворот оси балки по кратчайшему углу к л.в . совпадает с направлением сосредоточенного момента, имеем положительное внутреннее усилие.

C ледyет подчеpкнyть pазличие междy понятиями линии влия­ния и эпюpы , котоpая по опpеделению также являетcя гpафи­чеcким изобpажением закона изменения ycилия или пеpемещения .

Оp динаты y i и линии влияния, и эпюpы моментов являютcя здеcь фyнкциями от кооpдинаты x. Однако в c лyчае линий влияния эта кооpдината опpеделяет положение гpyза P = 1, а в cлyчае эпю­pы - положение cечения , в котоpом находитcя момент.

Пример 5.6. Обратимся к примеру (рис. 5.15).

Рис.5.15

Решение.

Вычислим величину реакции опоры С. Значение силы 15 кН умножим на значение линии влияния под силой (0,5) и получим:

R с = 15 ∙ 0,5 =7,5 кН.

Для сравнения нетрудно подсчитать реакцию из уравнения:изгибающий момент в шарнире В правых сил равен нулю:

M B = R с ∙ 3 - 15 ∙1 ,5 =0, откуда находим R с = 7,5 кН.

Аналогично находим:

M B = 8 ∙ 3 +15 ∙ 2 +2 ∙ (4 ∙ 4/2) = 70 кНм .

Пример 5.7. Конструкция (рис.5.16,в ) нагружена системой сил (вариант а и вариант б). Вычислим значения усилий по линиям влияния Н 3 (рис. 5.16,г ), М к (рис. 5.16,д ), М F (рис. 5.16,е ).

Рис.5.16

Решение.

Загружение по варианту «а».

Загружение по варианту «б»

5.7. Построение линий влияния при узловой передаче нагрузки

Чаc то нагpyзка пеpедаетcя на конcтpyкцию не непоcpедcтвенно , а чеpез cиcтемy cтатичеcки опpеделимых балок (pиc . 5.17, а ). Тогда, еc ли единичный гpyз находитcя в начале пpолета балки, т.е. в точке а , то он целиком пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию и вызывает ycилие , для котоpого поcтpоена линия влияния, чиcленно pавное y а - оpдинате линии влияния, cоответcтвyющей I оcновной конcтpyкции (pиc . 5.17, б ).

Рис. 5. 17

Еc ли гpyз находитcя в конце пpолета балки (точка b ), то он также пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию , вызывая ycилие , чиc­ленно pавное y b - оpдинате линии влияния в точке b основной конструкции.

H аконец , еcли гpyз находитcя в пpолете балки на pаccтоянии t от точки a (pиc . 5.17, в ), то левая pеакция балки бyдет pавна , а пpавая , (l 1 - пpолет балки). Значение yc илия в оc­новной конcтpyкции :

т.е. линия влияния на y чаcтке движения гpyза по балке бyдет пpя­молинейная . Еc ли оcновная линия влияния на этом yчаcтке лома­ная или кpиволинейная , то пpи пеpедаче нагpyзки чеpез cтатичеcки опpеделимyю балкy пpи пеpеходе от оpдинаты y a к оpдинате y b эта линия влияния cпpямляетcя .

Опиc анный cпоcоб пеpедачи нагpyзки на оcновнyю конcтpyк­цию называетcя yзловой пеpедачей нагрузки. Он оc обенно чаcто вcтpечаетcя в феpмах , где опоpы балок наcтила pаcпо­лагаютcя над yзлами феpмы , и бал­ками cлyжат cами панели веpхнего или нижнего пояcа (рис. 5.18).

Рис. 5. 18

Пp авило поcтpоения линии влия­ния ycилия S пpи yзловой пеpедаче нагpyзки заключается в следующем:

1. Поc тpоить пpедваpительно ли­нию влияния иcкомого ycилия пpи движении гpyза по оcновной чаcти конcтpyкции ;

2. Зафиксировать ординаты построенной линии влияния под узлами передачи нагрузки;

3. Соединить пp ямой линией оpдинаты линий влияния под yз­лами пеpедачи нагpyзки .

Эта линия называется переда­точной прямой линии влияния. Пример применения этого пра­вила для построения линии влия­ния изгибающего момента для сечения K балки приведен на рис. 5.19.

Рис. 5. 19

5.8. Невыгодное или опасное положение нагрузки

В процессе проектирования стержневых конструкций часто возникает вопрос о таком загружении внешней нагрузкой, когда внутренние усилия в рассматриваемом сечении (или опорная реакция) принимают максимальные (минимальные) значения. Эта проблема исследуется преимущественно с помощью линий влияния.

Положим, что л.в . состоит из отдельных линейных участков, рассмотрим различные случаи нагружения .

P .

В этом случае рассуждения о невыгодном нагружении простейшие:

­– максимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной положительной (y max ) ординатой линии влияния:

S max = P ∙ y max ;

– минимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной отрицательной (y min ) ординатой линии влияния:

S min = P ∙ y min .

2. Случай действия системы жестко связанных сосредоточенных сил.

Такая нагрузка моделирует нагрузку от автомобиля, поезда и т.п.

В общем случае линия влияния усилия может представлять ломанную линию.

Рассмотрим случай, когда действуют две связанные сосредоточенные силы (рис. 5.20). Пусть P 2 > P 1 .

Рис. 5.20

Для определения опасного положения гру­зов их устанавливают над однозначными уча­стками линии влияния так, чтобы наибольший груз находился над наи­большей ординатой. Из рис. 5.20 все становится понятным.

При большем числе грузов искомое опасное положение устанавливается перебором нескольких вариантов их положения, при котором один из грузов обязательно должен находится над одной из вершин линии влияния (рис. 5.21).

Рис. 5.21

Сократить количество рассматриваемых положений помогут следующие рассуждения. Установим подвижную систему связанных сил в предположении возникновения опасного загружения (рис. 5.21). Сместим систему грузов вправо на ∆ x . Приращение усилия будет равно

∆ S = Σ P i ∙ ∆ h i = ΣP i ∙ ∆ x ∙ tg α i =∆ x ∙ ΣP i ∙ tg α i ,

где ∆ h i – величина изменения координаты под P i ;

α i – угол наклона ЛВ под силой P i .

Предположим, что приращение ∆ S >0. Мысленно местим систему гру­зов влево от первона­чального положе­ния на ∆ x . Если прираще­ние уси­лия ∆ N будет отри­ца­тельно, то первона­чальное положение грузов отвечает опасному загру­жению .

Действительно, если опасное загружение единственно для данного сечения, то искомая функция изменения внутреннего усилия в зависимости от положения системы грузов должна обладать единственным экстремумом. Условие изменения знака приращения усилия при переходе через экстремум и позволяет сократить количество переборов.

3. Случай действия на сооружение подвижной равномерно распределенной нагрузки q .

Усилие N от равномерно распределенной нагрузки, как было показано ранее, вычисляется по формуле

Максимальное значение усилия S будет определяться площадью , так как величина q постоянна. Следовательно, подвижную постоянную распределенную нагрузку надо расположить над тем участком линии влияния усилий, где площадь под ней будет максимальна (минимальна).

5.9. Матричная форма расчета усилий

Пp и пpоведении pаcчетов с иcпользованием вычиcлительной техники шиpоко пpименяютcя матpицы влияния , т.е. матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача p аcчета конcтpyкции фоpмyлиpyетcя cледyющим обpазом .

Пусть требуется произвести расчет какой - либо статически оп­ределимой системы на действие заданной нагрузки (рис. 5.22, а ).

Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего на­метим сечения i = 1, 2, 3,..., n , в которых требу­ется вычислить усилия S i (i = 1, 2, 3,..., n ).

Заменяя распреде­ленную нагрузку сосре­доточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в виде системы сосредоточенных сил (рис. 5.22, б ) P T = (P 1 , P 2 , P 3 ,..., P n ), где Р i - значение внешней си­лы, приложенной в i - ом сечении.

Рис. 5.22

Далее c тpоятcя линии влияния искомого усилия для cечений i = 1, 2, 3,..., n заданной балки. C оглаcно пpинципа незавиcимоcти дейcтвия cил для каждого i - ого cечения можно cоcтавить выpа­жение иcкомого ycилия в cледyющем виде:

где y ik - значение иc комого ycилия в i - ом cечении от единичной cилы P k = 1, пpиложенной в k - ой точке (pиc . 5.22, б ).

Вводят вектоp ы S т = (S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ); P т = (P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n ) и матpицy L s , элементами котоpой являютcя ординаты линий влия­ния:

Эта матp ица называетcя матpицей влияния ycилия S . Пp и помощи введенных обозначений cоотношения (1) можно запи­cать в виде:

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов L M . Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться форму­лой , и осуществить переход от матрицы влияния изгиба­ющих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для определения поперечной силы, действующей на произвольном i - ом участке балки, ограниченной сечениями i и i - 1, пользуясь диск­ретным аналогом последней формулы в виде

она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов.

Преобразованная матрица моментов может быть получена путем перемножения двух матриц:

где - матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов в матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят едини­цы, а под диагональю Теория машин и механизмов

Изучение способа аналитического расчета многопролетных статически определимых балок на неподвижную нагрузку показало, что основной задачей расчета является определение расчетных уси­лий M max и Q max . Эта задача решается путем построения эпюр М и Q от заданной неподвижной нагрузки.

В то же время большое число инженерных сооружений, несущей частью которых являются сварные металлические конструкции, в том числе и балки, работают при воздействии подвижных нагрузок. Это железнодорожные и автодорожные мосты, подкрановые бал­ки и мосты кранов и др. Определить в этом случае расчетные усилия с помощью эпюр М и Q практически невозможно. Поэтому расчет на подвижную нагрузку производится иным способом.

Расчет сооружения на подвижную нагрузку в значительной степени об­легчается возможностью применения принципа независимости действия сил, сущность которого заключается в том, что внутренние усилия, напря­жения и деформации, вызванные воздействием на сооружение различных нагрузок, можно суммировать.

Если, например, на сооружение одновременно действуют две группы сил, то возникающее при этом усилие в любом элементе сооружения будет равно сумме усилий, возникающих в нем при действии каждой группы сил в отдельности. Исследование действия на сооружение подвижной нагрузки нач­нем с рассмотрения наиболее простого случая, когда по сооружению движется только один вертикальный груз Р, равный единице (рис. 3.14). Исследуем, как меняется тот или иной фактор (например, опорная реакция, изгибающий момент в определенном сечении балки, прогиб балки в данной точке и т. п.) при перемещении груза Р = 1 по сооружению. Установленный при этом закон изменения изучаемого фактора в зависи­мости от положения перемещающегося груза Р = 1 будем изображать графически.

График, изображающий закон изменения какого-либо силового фактора (напри­мер, изгибающего момента в сечении) при передвижении по сооружению силы Р = 1 , называется линией влияния этого фактора.

Понятие о линиях влияния. Очевидно, что величина любого усилия в элементах несущих конструкций зависит от положения внеш­ней подвижной нагрузки. Например, в однопролетной балке на двух опорах (рис, 3.14) величина опорной реакции R A будет тем больше, чем ближе к опоре находится подвижный груз Р , и наоборот, R A тем меньше, чем дальше от опоры А находится подвижный груз Р .

График, выражающий закон изменения усилий (опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных сил в заданном сечении балки) в зависимости от положения на балке подвижного единичного груза Р = 1 , называется линией влияния.

Рассмотрим порядок построения линий влияния опорных реакций однопролетных балок.

Однопролетная статически определимая балка АВ (рис. 3.14 а ). Нагрузка на балку - подвижный единичный груз Р = 1 . Определим величину опорной реакции R A в зависимости от положения Р = 1 (в текущих координатах).

∑М В = 0; R A · L - P (L - X) = 0; R A = (L - X)/L. (3.12)

Уравнение (3.12) это уравнение прямой линии. Определим ее положение в координатах X – Y.

При Х = 0,75L R A = 0,25P , при Х = 0,5L R A = 0,5P., При Х =0,25L R A = 0,75Р , что и представлено в левой части рис. 3.14.

Рис. 3.14. Анализ изменения опорных реакций R A и R B в зависимости от положения единичного груза Р = 1 c построением графиков линий влияния опорных реакций R A (б ) и R B (в ) в зависимости от положения единичного груза при Р = 1

Отложим на левой опоре (Х = 0 ) ординату, равную + 1, в произволь­ном масштабе, на правой опоре (Х = L ) - ординату, равную нулю. Найденные две точки определяют положение прямой, которая и является линией влияния опорной реакции R A (рис. 3.14 б ). С помощью полученного графика можно определить величину опорной реакции при любом положении груза Р = 1 . Для этого достаточно измерить ординату под грузом. Эта ордината (в принятом масштабе) будет равна опорной реакции R A при данном положении Р = 1 . Линия влияния изображена на рис 3.14 в .

Рассмотрим на примере использование линии влияния для практических целей. Однопролетная балка АВ (рис. 3.15) нагружена тремя неподвижными сосредоточенными силами.

Рис. 3.15. Использование линии влияния для определения опорной реакции R A

С помощью линии влияния определим величину R A от действия данной нагрузки. Для этого воспользуемся одним из следствий принципа независи­мости действия сил: результаты воздействия на сооружение различных нагрузок можно суммировать. На основании этого

R A = P 1 · y 1 + P 2 · y 2 + P 3 · y 3 = 8 · 0,75 + 6 · 0,5 + 8 · 0,125 = 10 т (3.13) Рассмотрим порядок построения линии влияния изгибающего момента в произвольно выбранном сечении балки.

Статически определимая балка на двух oпорах АВ (рис. 3.16 а ). Найдем изгибающий момент в сечении I - I , которое находится на расстоянии а от левой опоры. Если подвижный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения (рис. 3.16 а ), то изгибающий момент в сечении равен

М 1 = R A · а = а · (L - X)/ L. (3.14)

График уравнения (3.14) также прямая, которая и является линиейвлияния изгибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 в ). Но это не вся линия влияния, а только ее правая ветвь. Она действительна от опоры В до сечения, так как уравнение (3.14) состав­лено при условии, что груз Р=1 находится на этой (правой) части балки. Переместим груз Р = 1 на часть балки слеваот сечения I - I . Тогда момент в сечении I - I равен

М 1 = R B · b. (3.15)

Рис 3.16. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении I - I

Строим график уравнения (3.15). На правой опоре откладываем орди­нату, равную отрезку, в . Прямая, соединяющая точки с ординатой в на правой опоре и с ординатой, равной нулю, налевой опоре, является линией влияния момента в сечении I - I . Но, как теперь понятно, это также не вся линия влияния, а ее левая ветвь (рис. 3.16 в ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния из­гибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 г ). Размерность ординат линии влияния изгибающего момента - метры (сантиметры).

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Линия влияния М 1 по очертанию подобна эпюре изгибающих моментов от действия сосредоточенной силы. Но это сходство толь­ко внешнее. Между эпюрой изгибающих моментов и линией влияния изгибающего момента имеется принципиальная разница. Если эпюра моментов - это график распределения моментов во всех сечениях балки от неподвижной определенной нагрузки, то линия влияния момента - это график величин моментов в одном определенном сечении балки в зависимости от положения подвижного единичного груза Р = 1 .

Рассмотрим построение линии влияния поперечной силы.

Рис. 3.17. Построение линии влияния поперечной силы Q

Статически определимая балка на двух опорах АВ (рис. 3.17). Построим линию влияний поперечной силы Q I для сечения I - I , находящегося на расстоянии a левой опоры. Если подвиж­ный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения I - I, то величина поперечной силы в сечении равна

Q I = + R A . (3.16)

Напомним, что правило определения знаков поперечных сил в сечении рассмотрено выше (раздел 3.3.3, рис. 3.13).

Из уравнения (3.16) следует, что поперечная сила Q I и опорная реакция R A в зависимости от положения подвижного единично­го груза Р = 1 изменяются по одному и тому же закону. Следовательно, линия влияния R A будет также правой ветвью линии влияния Q I (рис. 3.17 а ).

Переместим груз Р =1 на часть балки слева от сечения I - I. Тогда

Q I = - R В. (3.17)

Из уравнения (2.17) следует, что линия влияния R В (с обратным знаком) будет также левой ветвью линии влиянияQ I (рис. 3.17 б ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния поперечной силы в сечении I - I (л.вл. Q I ) (рис 3.17 в ).

Рассмотрим построение линий влияния для однопролетных балок с консолями (рис. 3.18).

Рис 3.18. Балка АВ с линиями влияния R A , , R B , M и Q в сечении I – I между опорами

Построение линий влияния опорных реакций, изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся в пределах основного пролета АВ , производится по тем же правилам, что и для балки без консолей.

Величина опорной реакции R A в текущих координатах опре­деляется по формуле (3.12), приведенной выше.

R A = (L - X)/L,

Формула (3.12) справедлива при всех положениях груза Р = 1 , включая консоли (рис. 3.18 а ). Построение линии влияний опорной реакции R A : соединяем прямой две точки - первую с ординатой, равной + 1 , на левойопоре, и вторую с ординатой, равной нулю, на правой опоре. Затем продолжаем прямую до концов консолей. В пределах правойконсоли ординаты отрицательные. Это означает, что R A направлена вниз, когда груз Р = 1 находится в пределах этой консоли.

Линию влияния момента в сечении I-I построим как для обычной балки, но левую и правую ветви продолжим до концов консолей (рис. 3.18 в ). В пределах консолей ординаты линии влияния отрицатель­ны. Это означает, что момент всечении I - I отрицателен, когда груз Р = 1 находится на консолях.

При построении линии влияния поперечной силы в сечении I - I правую и левую ветви необходимо продолжить до конца консолей (рис. 3.18, г ).

Построение линий влияния изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся на консолях, производится по иным правилам (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Линии влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II для сечений I – I и II – II на консолях балки

Линия влияния изгибающего момента в сечении I - I будет только в пределах от сечения I - I до конца консоли. Представляется очевидным, что когда груз Р = 1 находится слева от сечения I - I , сечение не работает, в нем нет изгибающего момента (и поперечной силы).

Поэтому ординаты линии влияния М 1 слева от сечения I - I равны нулю. Величина изгибающего момента в сечении I - I в текущих координатах (рис. 3.19 а ), равна

М 1 = -Р · Х = -Х

Когда груз Р = 1 находится над сечением (Х = 0 ), М 1 = 0 , когда груз находится на краю консоли (Х = d ), М 1 = -d . Линия влияния М 1 и М 1 I приведены на рис. 2.19 б ; линии влияния Q I и Q II - на рис. 3.19 в . (Знаки ординат линий влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II определены всоответствии со схемами, показанными на рис. 3.13).

Рассмотрим построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок.

Построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок базируется на тех же закономерностях, которые используются при исследовании однопролетных балок.

Рассмотрим балку А-Н (рис. 3.20 а ). Балка статически определима и геометрически неизменяема. Составим схему взаимодействия (рис. 3.20 б ), которая помогает определить основные и вспомогательные элементы.

При построении линий влияния следует руководствоваться следующими правилами:

а) линии влияния для второстепенного элемента не отличаются по правилам построения от линий влияния для обычной однопролетной балки и не выходят за пределы элемента;

б) при построении линий влияния для основного элемента сначала строим ее, не обращая внимания на второстепенные элементы, как для обычной однопролетной балки, а затем учитываем их воз­действие (второстепенных элементов).

Рассмотрим построение линий влияния на примере для балки А-Н (рис. 3.20 а ).

Линии влияния опорных реакций R A и R В (рис. 3.20 в, г ), строим сначала в пределах основного элемента ABC, как для обычной балки с консолями. Когда груз Р = 1 перейдет на второстепенный элемент СД , его воздействие на величину опорных реакций R A и R В начнет уменьшаться и станет равным нулю при положении груза в точке Д . Соответственно равным нулю при этом положении груза Р = 1 станут и величины опорных реакций R A и R В. Правее шарнира Д ординаты линий влияния R A и R В равны нулю, так как при положении груза Р = 1 правее шарнира Д он не оказывает никакого воздействия на эти опорные реакции.

Линии влияния М 1 II и Q 1 II для сечения III - III , находящегося на второстепенной балке СД , не отличаются от линий влияния для обычной однопролетной балки (рис. 3.20 д ).

Линии влияния М 1 и Q 1 для сечения I - I , находящегося впределах основного пролета основного элемента ABC , строим, придерживаясь правил, примененных при построении линий влияния R A и R В (рис. 3.20 е ).

Линии влияния М 1 I и Q 1 I для сечения II - II , находящегося на консольной части основного элемента ABC , строим сначала как для обычной балки, затем учитываем воздействие второстепенного элемента СД . Когда груз Р = 1 достигнет шарнира Д , его воздействие через элемент СД на величину М 1 I и Q 1 I прекратится (рис.3.20 ж ).

Линии влияния R Е, М 1 V и Q 1 V подобны по построению линиям влияния соответственно R A , М 1 и Q 1 , так как элемент ДЕFG также является основным. Только на величину R Е, М 1 V и Q 1 V помимо второстепенного элемента СД оказывает воздействие второй второстепенный элемент GH (рис. 3.20 з, и, к ).

Линия влияния М V подобна по построению линии влияния М 1 I , а линия влияния М 1 V - соответственно линии влияния М 1 II (рис. 3.20 л, м ).

Правильность построения линий влияния можно проверить статическим способом. Для этого, располагая груз Р = 1 в произволь­но выбранных сечениях на балке, необходимо составить и решить соответствующие уравнения статики (по методике, рассмотренной в разделе 3.3.3).

Рис. 3.20. Построение линий влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил для многопролетной балки в сечениях I, II, III, IV, V и VI